बिंदु $(5, 2, -4)$ से गुजरने वाली और सदिश $3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ के समांतर रेखा का सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

(A) दिए गए बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = 5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k}$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,सदिश समीकरण $\vec{r} = (5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k}) + \lambda (3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k})$ प्राप्त होता है।
कार्तीय समीकरण के लिए,मान लीजिए $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ है।
अतः $x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} = (5 + 3 \lambda) \hat{i} + (2 + 2 \lambda) \hat{j} + (-4 - 8 \lambda) \hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर,हमें $x = 5 + 3 \lambda$,$y = 2 + 2 \lambda$,और $z = -4 - 8 \lambda$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{x - 5}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 4}{-8}$ प्राप्त होता है।
अतः,कार्तीय समीकरण $\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 4}{-8}$ है।