$\sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$ ની વચ્ચે આવતી ત્રણ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ શોધો.

બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ની વચ્ચેની અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $\sqrt{a \cdot b}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$1$. $\sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$ ની વચ્ચેની પ્રથમ અસંમેય સંખ્યા:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{15}} = 15^{\frac{1}{4}}$.
$2$. $\sqrt{3}$ અને $15^{\frac{1}{4}}$ ની વચ્ચેની બીજી અસંમેય સંખ્યા:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 15^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$.
$3$. $\sqrt{3}$ અને $3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ ની વચ્ચેની ત્રીજી અસંમેય સંખ્યા:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{7}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = 3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$.
આમ,$\sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$ ની વચ્ચેની ત્રણ અસંમેય સંખ્યાઓ $15^{\frac{1}{4}}$,$3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ અને $3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$ છે.