x in R के लिए,मान लीजिए tan^{-1}(x) in left(- | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x) = \int_0^{x 	an^{-1} x} \frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}} dt$ द्वारा दिया गया है।लेबनीज़ नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ प्राप्त किया जा

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(B) फलन $f(x) = \int_0^{x 	an^{-1} x} \frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}} dt$ द्वारा दिया गया है।लेबनीज़ नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ प्राप्त किया जा सकता है।हालाँकि,फलन की संरचना को देखते हुए,हम ध्यान देते हैं कि $x=0$ के लिए,$f(0) = \int_0^0 \dots dt = 0$ होता है।$x 
eq 0$ के लिए,$x 	an^{-1} x > 0$ होता है क्योंकि $	an^{-1} x$ का चिह्न $x$ के समान ही होता है।चूंकि समाकल्य (integrand) $\frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}}$,$t \geq 0$ के लिए धनात्मक है,और ऊपरी सीमा $x 	an^{-1} x$ हमेशा अ-ऋणात्मक (non-negative) है,इसलिए समाकलन $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए अ-ऋणात्मक है।विशेष रूप से,सभी $x$ के लिए $f(x) \geq 0$ और $f(0) = 0$ है।अतः,फलन का न्यूनतम मान $0$ है।

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$\int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \cdot \sin^2 6\theta \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$ एक सतत फलन है जो $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3, \forall t > 0$ को संतुष्ट करता है। तो $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \,dt$ है,तो $f^{\prime}(x)$ है

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