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Question

(A) हम जानते हैं कि प्रतिलोम हाइपरबोलिक साइन फलन का सूत्र $\sinh ^{-1}(y) = \log \left(y + \sqrt{1 + y^2}\right)$ है।सूत्र में $y = \cot x$ प्रतिस्थाप

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$\log \left(\cot \frac{x}{2}\right)$

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(A) हम जानते हैं कि प्रतिलोम हाइपरबोलिक साइन फलन का सूत्र $\sinh ^{-1}(y) = \log \left(y + \sqrt{1 + y^2}\right)$ है।सूत्र में $y = \cot x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{1 + \cot ^2 x}\right)$त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cot ^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$ का उपयोग करने पर,हमारे पास है:$= \log \left(\cot x + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x}\right)$$= \log (\cot x + \operatorname{cosec} x)$$= \log \left(\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}\right)$$= \log \left(\frac{1 + \cos x}{\sin x}\right)$अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2 \cos ^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$= \log \left(\frac{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right)$$= \log \left(\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)$$= \log \left(\cot \frac{x}{2}\right)$.

$0 < x \leq \pi$ के लिए,$\sinh ^{-1}(\cot x)$ किसके बराबर है

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