n 2 और n in N के लिए,(x-n)((x^2-2nx)^2 + (2 | vedclass

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Question

(C) माना $y = x^2 - 2nx$. समीकरण $(x-n)(y^2 + (2n^2-5)y + (n^4-5n^2+4)) = 0$ हो जाता है। $y$ में द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^2 + (2n^2-5)y +

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$120$

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(C) माना $y = x^2 - 2nx$. समीकरण $(x-n)(y^2 + (2n^2-5)y + (n^4-5n^2+4)) = 0$ हो जाता है। $y$ में द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^2 + (2n^2-5)y + (n^2-1)(n^2-4) = (y + n^2-1)(y + n^2-4) = 0$. $y$ का मान वापस रखने पर: $(x-n)(x^2 - 2nx + n^2 - 1)(x^2 - 2nx + n^2 - 4) = 0$. यह $(x-n)((x-n)^2 - 1)((x-n)^2 - 4) = 0$ में सरल हो जाता है। $(x-n)(x-n-1)(x-n+1)(x-n-2)(x-n+2) = 0$. मूल $x = n, n+1, n-1, n+2, n-2$ हैं। मूलों का गुणनफल $P = n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$. यह $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $5! = 120$ से विभाज्य होता है।

$n > 2$ और $n \in N$ के लिए,$(x-n)((x^2-2nx)^2 + (2n^2-5)(x^2-2nx) + (n^4-5n^2+4)) = 0$ के मूलों का गुणनफल किससे विभाज्य है?

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