n 1 અને n in N માટે, જો z_1, z_2, ldots, z_ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ $(z+1)^n = z^n$ છે. $z=0$ એ ઉકેલ ન હોવાથી, આપણે લખી શકીએ $(\frac{z+1}{z})^n = 1$. ધારો કે $\frac{z+1}{z} = \omega_k = e^{i \frac{2k\pi

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n-1}{2}(2 - \pi)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ $(z+1)^n = z^n$ છે. $z=0$ એ ઉકેલ ન હોવાથી, આપણે લખી શકીએ $(\frac{z+1}{z})^n = 1$. ધારો કે $\frac{z+1}{z} = \omega_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ જ્યાં $k = 1, 2, \ldots, n-1$. તેથી $z+1 = z \omega_k \Rightarrow z(1 - \omega_k) = -1 \Rightarrow z = \frac{1}{\omega_k - 1}$. $\omega_k = \cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})$ મૂકતા, આપણને મળે $z = \frac{1}{\cos(\frac{2k\pi}{n}) - 1 + i \sin(\frac{2k\pi}{n})} = \frac{1}{-2 \sin^2(\frac{k\pi}{n}) + 2i \sin(\frac{k\pi}{n}) \cos(\frac{k\pi}{n})} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) [\cos(\frac{k\pi}{n}) + i \sin(\frac{k\pi}{n})]} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) e^{i \frac{k\pi}{n}}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) e^{-i \frac{k\pi}{n}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) (\cos(\frac{k\pi}{n}) - i \sin(\frac{k\pi}{n})) = \frac{1}{2} (-i \cot(\frac{k\pi}{n}) - 1)$. આમ, $\operatorname{Re}(z_k) = -\frac{1}{2}$ અને $\operatorname{Im}(z_k) = -\frac{1}{2} \cot(\frac{k\pi}{n})$. સરવાળો $n-1$ બીજ પર છે. આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cot^{-1}(|\cot(\frac{k\pi}{n})|) - 1}{-1} = \sum_{k=1}^{n-1} (1 - \frac{k\pi}{n}) = (n-1) - \frac{\pi}{n} \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)(1 - \frac{\pi}{2}) = \frac{n-1}{2}(2 - \pi)$.

$n > 1$ અને $n \in N$ માટે, જો $z_1, z_2, \ldots, z_n$ એ સમીકરણ $(z+1)^n = z^n$ ના બીજ હોય, તો $\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\cot^{-1}(2|\operatorname{Im} z_i|) - 1}{2 \operatorname{Re} z_i} = $

Similar Questions

સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ શોધો જેના માટે $\left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}} \right)^n = 1$ થાય.

જો $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ હોય,તો $(1 + \omega)(1 + \omega^2)(1 + \omega^4)(1 + \omega^8) \dots$ $2n$ અવયવો સુધી બરાબર શું થાય?

$\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} i\right)^{2020} =$

જો $\alpha, \beta, \gamma$ એ $p$ $(p < 0)$ ના ઘનમૂળ હોય,તો કોઈપણ $x, y$ અને $z$ માટે,$\frac{x\alpha + y\beta + z\gamma}{x\beta + y\gamma + z\alpha} = $

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ હોય, તો જે સમીકરણના બીજ $\alpha^{19}$ અને $\beta^7$ હોય તે સમીકરણ કયું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module