एक आव्यूह $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए, यदि $U_{1}, U_{2}$ और $U_{3}$ $3 \times 1$ स्तंभ आव्यूह हैं जो $A U_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $A U_{2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $A U_{3}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ को संतुष्ट करते हैं और $U$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके स्तंभ $U_{1}, U_{2}$ और $U_{3}$ हैं, तो $U^{-1}$ के अवयवों का योग है:

कथन $-1$: रैखिक समीकरणों की प्रणाली
$x + (\sin \alpha)y + (\cos \alpha)z = 0$
$x + (\cos \alpha)y + (\sin \alpha)z = 0$
$x - (\sin \alpha)y - (\cos \alpha)z = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में स्थित $\alpha$ के केवल एक मान के लिए एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है।
कथन $-2$: $\alpha$ में समीकरण
$\left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right| = 0$
का अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में केवल एक हल है।

यदि रैखिक समीकरणों के निकाय $x+y+z=a$,$x-y+bz=2$,और $2x+3y-z=1$ के अनंततः अनेक हल हैं,तो $b-5a=$

यदि आव्यूह समीकरण दिया गया है,तो $x=$ . . . . . . और $y=$ . . . . . . .

$a$ का वह धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समघात समीकरण निकाय $x+ay+z=0$, $ax+2y-z=0$, और $2x+3y+z=0$ के अशून्य हल हों।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। तो,रैखिक समीकरण निकाय $A^{8} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 64 \end{bmatrix}$ का :