एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या z के लिए,मान लीजि | vedclass

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Question

(A) योगफल एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = \sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n = (-\omega) + (-\omega)^2 + \dots + (-\omega)^{2025}$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिस

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$-2$

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(A) योगफल एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = \sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n = (-\omega) + (-\omega)^2 + \dots + (-\omega)^{2025}$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = -\omega$,सार्व अनुपात $r = -\omega$ और $n = 2025$ पद हैं।$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{-\omega(1-(-\omega)^{2025})}{1-(-\omega)} = \frac{-\omega(1 - (-\omega^{2025}))}{1+\omega}$.चूंकि $\omega^3 = 1$ और $2025$,$3$ का गुणज है,इसलिए $\omega^{2025} = 1$.$S = \frac{-\omega(1 - (-1))}{1+\omega} = \frac{-\omega(2)}{1+\omega}$.$1+\omega = -\omega^2$ का उपयोग करने पर,$S = \frac{-2\omega}{-\omega^2} = \frac{2}{\omega} = 2\omega^2$.चूंकि $\omega = e^{i2\pi/3}$,$\omega^2 = e^{i4\pi/3} = e^{-i2\pi/3}$.अतः,$\alpha = \arg(2\omega^2) = \arg(e^{-i2\pi/3}) = -\frac{2\pi}{3}$.इसलिए,$\frac{3\alpha}{\pi} = \frac{3}{\pi} 	imes \left(-\frac{2\pi}{3}ight) = -2$.

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मान लीजिए $\omega=\operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ और $f(x)=x^7-2 x^4-4 x^3+8$ है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-2x+4=0$ के मूल हैं,तो किसी भी $n \in N$ के लिए $\alpha^n+\beta^n = \ldots \cos \left(\frac{n\pi}{3}\right)$.

$\sum_{r=1}^{16}\left(\sin \frac{2 r \pi}{17}+i \cos \frac{2 r \pi}{17}\right)=$

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