धनात्मक पूर्णांक n के लिए, n^{3} + 2n हमेशा क | vedclass

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Question

(A) माना $f(n) = n^{3} + 2n$. हम इसे $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ, $(n-1)n(n+1)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का

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$3$

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(A) माना $f(n) = n^{3} + 2n$. हम इसे $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ, $(n-1)n(n+1)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है, जो हमेशा $3! = 6$ से विभाज्य होता है। हालाँकि, व्यंजक $n^{3} + 2n$ विशेष रूप से $3$ से विभाज्य है क्योंकि फर्मा के लिटिल प्रमेय के अनुसार $n^{3} \equiv n \pmod{3}$, इसलिए $n^{3} + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}$। मानों की जाँच करने पर: $n=1$ के लिए, $1^{3} + 2(1) = 3$ ($3$ से विभाज्य)। $n=2$ के लिए, $2^{3} + 2(2) = 12$ ($3$ से विभाज्य)। $n=3$ के लिए, $3^{3} + 2(3) = 33$ ($3$ से विभाज्य)। अतः, यह हमेशा $3$ से विभाज्य है।

धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, $n^{3} + 2n$ हमेशा किससे विभाज्य है?

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