ધન પૂર્ણાંક n માટે, n^{3} + 2n હંમેશા કોના વડ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(n) = n^{3} + 2n$. આપણે તેને $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ તરીકે લખી શકીએ. અહીં, $(n-1)n(n+1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુ

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(n) = n^{3} + 2n$. આપણે તેને $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ તરીકે લખી શકીએ. અહીં, $(n-1)n(n+1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે, જે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. જોકે, પદાવલિ $n^{3} + 2n$ ખાસ કરીને $3$ વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ $n^{3} \equiv n \pmod{3}$, તેથી $n^{3} + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}$. કિંમતો ચકાસતા: $n=1$ માટે, $1^{3} + 2(1) = 3$ ($3$ વડે વિભાજ્ય). $n=2$ માટે, $2^{3} + 2(2) = 12$ ($3$ વડે વિભાજ્ય). $n=3$ માટે, $3^{3} + 2(3) = 33$ ($3$ વડે વિભાજ્ય). આમ, તે હંમેશા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે, $n^{3} + 2n$ હંમેશા કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Similar Questions

ધારો કે $N_1 = 2^{55} + 1$ અને $N_2 = 165$ છે. તો:

વિધાનો પૈકી:
$(S1):$ $2023^{2022} - 1999^{2022}$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(S2):$ $13(13^{n}) - 11n - 13$ એ અસંખ્ય $n \in N$ માટે $144$ વડે વિભાજ્ય છે.

ધારો કે $n \in \mathbb{N}$. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

જો $2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1} = 11t$ અને $2 \cdot 4^{2k+3} + 3^{3k+4} = 11(pt + 3^q)$,જ્યાં $k, t \in Z^{+}$,તો $(p, q) =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module