$(0,0)$,$(4,0)$ અને $(3,4)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર શોધો:

ત્રિકોણ $ABC$ ના બે શિરોબિંદુઓ $A(3, -1)$ અને $B(-2, 3)$ છે,અને તેનું લંબકેન્દ્ર $P(1, 1)$ છે. જો બિંદુ $C$ ના યામ $(\alpha, \beta)$ હોય અને ત્રિકોણ $PAB$ ના પરિવૃતનું કેન્દ્ર $(h, k)$ હોય,તો $(\alpha + \beta) + 2(h + k)$ ની કિંમત શોધો:

$O(0, 0), P(3, 4), Q(6, 0)$ એ ત્રિકોણ $OPQ$ ના શિરોબિંદુઓ છે. બિંદુ $R$ ત્રિકોણ $OPQ$ ની અંદર એવી રીતે આવેલું છે કે જેથી ત્રિકોણ $OPR, PQR$ અને $OQR$ ના ક્ષેત્રફળ સમાન થાય. $R$ ના યામ શોધો.

એક ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને તેનું મધ્યકેન્દ્ર એ $(a^2 + 1, a^2 + 1)$ અને $(2a, -2a)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે,જ્યાં $a \ne 0$. તો કોઈપણ $a$ માટે,આ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર કઈ રેખા પર આવેલું છે?

ધારો કે $PQR$ એ લઘુકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $PQ < QR$ છે. શિરોબિંદુ $Q$ માંથી વેધ $QQ_1$,ખૂણાનો દ્વિભાજક $QQ_2$ અને મધ્યગા $QQ_3$ દોરો,જ્યાં $Q_1, Q_2, Q_3$ એ $PR$ પર આવેલા છે. તો,

જો $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ હોય અને તેમની સામેની બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે $a, b, c$ હોય,તો શિરોબિંદુ $B$ ની સાપેક્ષે બહિઃકેન્દ્ર (excentre) શું થાય?