किसी भी $n \in N$ के लिए,$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = $

धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए,यदि $4 a_n = (n^2 + 5n + 6)$ और $S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{a_k}\right)$ है,तो $507 S_{2025}$ का मान क्या है?

यदि $t_{n} = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है,तो $\frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{t_{2}} + \frac{1}{t_{3}} + \dots + \frac{1}{t_{2003}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

योगफल $\sum_{n=1}^{21} \frac{3}{(4n-1)(4n+3)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{1}{2 \times 7} + \frac{1}{7 \times 12} + \frac{1}{12 \times 17} + \frac{1}{17 \times 22} + \dots$ $10$ पदों तक $= k$ है,तो $k =$

यदि श्रेणी $\frac{1}{5}+\frac{2}{65}+\frac{3}{325}+\frac{4}{1025}+\frac{5}{2501}+\ldots$ के प्रथम दस पदों का योग $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए।