કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,સાબિત કરો કે $n^{3}-n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $a = n^{3} - n.$
આ પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા,આપણને મળે $a = n(n^{2} - 1).$
નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $a = (n - 1)n(n + 1).$
આ પદાવલિ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આમ,$2$ અને $3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ એ આ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના ગુણાકારને નિઃશેષ ભાગી શકે છે.
તેથી,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $(n - 1)n(n + 1)$ હંમેશા $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$n^{3} - n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.