किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि $n^{3}-n$,$6$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $a = n^{3} - n.$
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें प्राप्त होता है $a = n(n^{2} - 1).$
सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $a = (n - 1)n(n + 1).$
यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या सम (अर्थात $2$ से विभाज्य) होती है और ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
चूंकि $2$ और $3$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए उनका गुणनफल $2 \times 3 = 6$ इन तीन क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल को पूर्णतः विभाजित करेगा।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $(n - 1)n(n + 1)$ हमेशा $6$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$n^{3} - n$,$6$ से विभाज्य है।