सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी भी पूर्णांक $m$ के लिए $6m+2$ या $6m+5$ के रूप का नहीं हो सकता है।

(N/A) माना $a$ एक स्वेच्छ धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $6$ के लिए,ऐसे ऋणोत्तर पूर्णांक $q$ और $r$ विद्यमान हैं कि $a = 6q + r$,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (6q + r)^2 = 36q^2 + 12qr + r^2 = 6(6q^2 + 2qr) + r^2$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $(i)$ मानिए।
स्थिति $I$: यदि $r = 0$,तो $a^2 = 6(6q^2) = 6m$,जहाँ $m = 6q^2$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 2q) + 1 = 6m + 1$,जहाँ $m = 6q^2 + 2q$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 4q) + 4 = 6m + 4$,जहाँ $m = 6q^2 + 4q$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 6q) + 9 = 6(6q^2 + 6q + 1) + 3 = 6m + 3$,जहाँ $m = 6q^2 + 6q + 1$ है।
स्थिति $V$: यदि $r = 4$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 8q) + 16 = 6(6q^2 + 8q + 2) + 4 = 6m + 4$,जहाँ $m = 6q^2 + 8q + 2$ है।
स्थिति $VI$: यदि $r = 5$,तो $a^2 = 6(6q^2 + 10q) + 25 = 6(6q^2 + 10q + 4) + 1 = 6m + 1$,जहाँ $m = 6q^2 + 10q + 4$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग केवल $6m, 6m+1, 6m+3,$ या $6m+4$ के रूप का ही हो सकता है। इसलिए,यह $6m+2$ या $6m+5$ के रूप का नहीं हो सकता है।