दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $4q+1$ या $4q+3$ के रूप का होता है,जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है।

(N/A) माना कि $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leq r < b$ है।
यहाँ,हम $b = 4$ लेते हैं। अतः,$a = 4q + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
शेषफल $r$ के संभावित मान $0, 1, 2$ और $3$ हैं।
इसका अर्थ है कि $a$ को $4q, 4q+1, 4q+2$ या $4q+3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूँकि $a$ एक विषम पूर्णांक है,यह $2$ से विभाज्य नहीं हो सकता।
- $4q = 2(2q)$,जो $2$ से विभाज्य है (सम)।
- $4q+2 = 2(2q+1)$,जो $2$ से विभाज्य है (सम)।
अतः,$a$ का मान $4q$ या $4q+2$ नहीं हो सकता।
इसलिए,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $4q+1$ या $4q+3$ के रूप का ही होता है।