દર્શાવો કે કોઈપણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $4q+1$ અથવા $4q+3$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $q$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગાકારની પ્રવિધિ મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leq r < b$ થાય.
અહીં,આપણે $b = 4$ લઈએ છીએ. તેથી,$a = 4q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 4$ છે.
શેષ $r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ અને $3$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ ને $4q, 4q+1, 4q+2$ અથવા $4q+3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
કારણ કે $a$ એક અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે,તે $2$ વડે વિભાજ્ય હોઈ શકે નહીં.
- $4q = 2(2q)$,જે $2$ વડે વિભાજ્ય છે (યુગ્મ).
- $4q+2 = 2(2q+1)$,જે $2$ વડે વિભાજ્ય છે (યુગ્મ).
તેથી,$a$ એ $4q$ અથવા $4q+2$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,કોઈપણ ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $4q+1$ અથવા $4q+3$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે.