કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,નીચેનામાંથી કયું હંમેશા સાચું છે?

$A_n$ બિંદુઓ $(x, y)$ નો સમૂહ ધ્યાનમાં લો કે જેથી $0 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq n$,જ્યાં $n, x, y$ પૂર્ણાંક છે. ધારો કે $S_n$ એ $A_n$ માંથી ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી તમામ રેખાઓનો સમૂહ છે. ધારો કે આપણે $S_n$ માંથી યાદચ્છિક રીતે એક રેખા $l$ પસંદ કરીએ છીએ. ધારો કે $P_n$ એ સંભાવના છે કે $l$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ ને સ્પર્શક છે. તો,લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n$ છે

$52$ પત્તાંના પેકમાંથી એક પછી એક પત્તું બદલ્યા વગર ખેંચવામાં આવે છે. પ્રથમ એક્કો આવે તે પહેલાં $10$ પત્તાં આવે તેની સંભાવના કેટલી?

એક થેલીમાં $1, 2, 3$ નંબરની ત્રણ ટિકિટો છે. એક ટિકિટ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને પાછી મૂકવામાં આવે છે,અને આ પ્રક્રિયા ચાર વાર કરવામાં આવે છે. સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી હોય તેની સંભાવના કેટલી?

ધારો કે $X_n = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ અને $X_n$ નો એક ઉપગણ $A$ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે જેથી $A$ ના દરેક બે ઘટકોનો તફાવત ઓછામાં ઓછો $3$ હોય. (ઉદાહરણ તરીકે,જો $n = 5$ હોય,તો $A$ એ $\phi, \{2\}$ અથવા $\{1, 5\}$ વગેરે હોઈ શકે છે). જ્યારે $n = 10$ હોય,ત્યારે $1 \in A$ હોય તેની સંભાવના $p$ છે અને $2 \in A$ હોય તેની સંભાવના $q$ છે. તો,

$A$ સાચું બોલે તેની સંભાવના $75 \%$ છે અને $B$ સાચું બોલે તેની સંભાવના $80 \%$ છે. જ્યારે તેમને કોઈ હકીકત વિશે બોલવાનું કહેવામાં આવે ત્યારે તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ કરે તેની સંભાવના કેટલી?