દરેક $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $P(n) : 3^n < n!$ એ $n \in N$ માટે $n \geq \lambda$ માટે સત્ય છે. $\lambda$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $2+4+6+\ldots+2n = n^2+n$.

વિધાન $P(n): 1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \dots + n \times n! = (n + 1)! - 1$ એ

જો $P(n): 2^{n} < n!$ હોય,તો $P(n)$ સત્ય હોય તેવો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક કયો છે?

જો $P(n) = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$,$n \in N$,હોય,તો $P(k) = k(k + 1) + 2 \implies P(k + 1) = (k + 1)(k + 2) + 2$ એ તમામ $k \in N$ માટે છે. તો આપણે એવું તારણ કાઢી શકીએ કે $P(n) = n(n + 1) + 2$ એ કોના માટે છે?