દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,${2^n} < n!$ ક્યારે થાય?

દરેક $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે તમામ $n \in N$ માટે $\frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે જ્યાં $n \geq 2$:
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$.

ધારો કે $P(n) : 3^n < n!$ એ $n \in N$ માટે $n \geq \lambda$ માટે સત્ય છે. $\lambda$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.