प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,${2^n} < n!$ कब होता है?

सभी $n \ge 1$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $n$ भिन्न अवयवों वाले एक समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^{n}$ है,जहाँ $n \in N$.

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + n \cdot 2^{n} = (n-1) 2^{n+1} + 2$

कथन पर विचार करें: $P(n): n^2 - n + 41$ एक अभाज्य संख्या है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?