$LPP$ के लिए,$x+2y \leq 2$,$x+2y \geq 8$,$x, y \geq 0$ बाधाओं के अधीन $z=x+4y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित $LP$ समस्या का समाधान ज्ञात कीजिए:
न्यूनतम $z = -3x + 2y$
प्रतिबंध $0 \leq x \leq 4, 1 \leq y \leq 6, x + y \leq 5$ है $.....$

$3x+4y \geqslant 12$,$x+y \leqslant 5$,$x, y \geqslant 0$ अवरोधों के अंतर्गत $z=4x+2y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

नीचे दी गई आकृति में छायांकित क्षेत्र असमिकाओं के निकाय का हल समुच्चय है। इस असमिका निकाय द्वारा दिए गए रैखिक प्रतिबंधों के अधीन उद्देश्य फलन $Z = 3x + 5y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

एक आहार में कम से कम $80$ इकाई विटामिन $A$ और $100$ इकाई खनिज होने चाहिए। दो खाद्य पदार्थ $F_{1}$ और $F_{2}$ उपलब्ध हैं। खाद्य $F_{1}$ की लागत $Rs. 4$ प्रति इकाई और $F_{2}$ की लागत $Rs. 6$ प्रति इकाई है। खाद्य $F_{1}$ की एक इकाई में $3$ इकाई विटामिन $A$ और $4$ इकाई खनिज होते हैं। खाद्य $F_{2}$ की एक इकाई में $6$ इकाई विटामिन $A$ और $3$ इकाई खनिज होते हैं। इसे एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के रूप में तैयार करें। उस आहार के लिए न्यूनतम लागत ज्ञात करें जिसमें इन दो खाद्य पदार्थों का मिश्रण हो और जो न्यूनतम पोषण संबंधी आवश्यकताओं को पूरा करता हो।

एक फैक्ट्री दो प्रकार के स्क्रू, $A$ और $B$ बनाती है। प्रत्येक प्रकार के स्क्रू के लिए दो मशीनों का उपयोग आवश्यक है, एक स्वचालित और एक हाथ से चलने वाली। स्क्रू $A$ का एक पैकेट बनाने में स्वचालित मशीन पर $4 \, \text{मिनट}$ और हाथ से चलने वाली मशीन पर $6 \, \text{मिनट}$ लगते हैं, जबकि स्क्रू $B$ का एक पैकेट बनाने में स्वचालित मशीन पर $6 \, \text{मिनट}$ और हाथ से चलने वाली मशीन पर $3 \, \text{मिनट}$ लगते हैं। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन अधिकतम $4 \, \text{घंटे}$ के लिए उपलब्ध है। निर्माता स्क्रू $A$ के एक पैकेट पर $Rs. \, 7$ और स्क्रू $B$ के पैकेट पर $Rs. \, 10$ का लाभ कमा सकता है। यह मानते हुए कि वह अपने द्वारा बनाए गए सभी स्क्रू बेच सकता है, फैक्ट्री मालिक को अपना लाभ अधिकतम करने के लिए एक दिन में प्रत्येक प्रकार के कितने पैकेट बनाने चाहिए? अधिकतम लाभ निर्धारित करें।