नीचे दी गई आकृति में छायांकित क्षेत्र असमिकाओं के निकाय का हल समुच्चय है। इस असमिका निकाय द्वारा दिए गए रैखिक प्रतिबंधों के अधीन उद्देश्य फलन $Z = 3x + 5y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

एक कुटीर उद्योग पेडस्टल लैंप और लकड़ी के शेड का निर्माण करता है,जिनमें से प्रत्येक के लिए ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन और स्प्रेयर के उपयोग की आवश्यकता होती है। एक पेडस्टल लैंप बनाने में ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन पर $2 \text{ घंटे}$ और स्प्रेयर पर $3 \text{ घंटे}$ का समय लगता है। एक शेड बनाने में ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन पर $1 \text{ घंटा}$ और स्प्रेयर पर $2 \text{ घंटे}$ का समय लगता है। किसी भी दिन,स्प्रेयर अधिकतम $20 \text{ घंटे}$ और ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन अधिकतम $12 \text{ घंटे}$ के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री से लाभ $Rs. 5$ है और एक शेड से लाभ $Rs. 3$ है। यह मानते हुए कि निर्माता अपने द्वारा उत्पादित सभी लैंप और शेड बेच सकता है,उसे अपने लाभ को अधिकतम करने के लिए अपने दैनिक उत्पादन को कैसे निर्धारित करना चाहिए?

$z = 3x + 5y$ का न्यूनतम मान, $x \leq 80$, $y \geq 60$, $x + y \leq 200$ और $x, y \geq 0$ अवरोधों के अंतर्गत, किस बिंदु पर प्राप्त होता है:

$0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ और $x + y \geq 5$ के प्रतिबंधों के अधीन $z = 10x + 25y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:

$x + 2y \geq 10$,$3x + y \geq 10$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ बाधाओं के अधीन $z = 2x + 4y$ का न्यूनतम मान $....$ है।

एक विनिर्माण कंपनी एक उत्पाद के दो मॉडल $A$ और $B$ बनाती है। मॉडल $A$ के प्रत्येक नग के लिए निर्माण (fabrication) के लिए $9$ श्रम घंटे और फिनिशिंग के लिए $1$ श्रम घंटा आवश्यक है। मॉडल $B$ के प्रत्येक नग के लिए निर्माण के लिए $12$ श्रम घंटे और फिनिशिंग के लिए $3$ श्रम घंटे आवश्यक हैं। निर्माण और फिनिशिंग के लिए उपलब्ध अधिकतम श्रम घंटे क्रमशः $180$ और $30$ हैं। कंपनी मॉडल $A$ के प्रत्येक नग पर $8000$ रुपये और मॉडल $B$ के प्रत्येक नग पर $12000$ रुपये का लाभ कमाती है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रति सप्ताह मॉडल $A$ और मॉडल $B$ के कितने नग निर्मित किए जाने चाहिए? प्रति सप्ताह अधिकतम लाभ क्या है?