वक्र {y^n} = {a^{n - 1}}x के लिए,किसी भी बिंद | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र का समीकरण: ${y^n} = {a^{n - 1}}x$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n{y^{n - 1}}\frac{{dy}}{{dx}} = {a^{n - 1}}$ प्रा

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$2$

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(A) दिए गए वक्र का समीकरण: ${y^n} = {a^{n - 1}}x$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n{y^{n - 1}}\frac{{dy}}{{dx}} = {a^{n - 1}}$ प्राप्त होता है। अतः,स्पर्शरेखा की ढाल: $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{a^{n - 1}}}}{{n{y^{n - 1}}}}$ है। सबनॉर्मल की लंबाई का सूत्र: $	ext{Subnormal} = y \left| \frac{{dy}}{{dx}} ight|$ है। $\frac{{dy}}{{dx}}$ का मान रखने पर: $	ext{Subnormal} = y \cdot \frac{{{a^{n - 1}}}}{{n{y^{n - 1}}}} = \frac{{{a^{n - 1}}}}{n} \cdot y^{1 - (n - 1)} = \frac{{{a^{n - 1}}}}{n} \cdot y^{2 - n}$ प्राप्त होता है। सबनॉर्मल को स्थिर रहने के लिए,इसे $y$ से स्वतंत्र होना चाहिए। इसका अर्थ है कि $y$ का घातांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $2 - n = 0$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

वक्र ${y^n} = {a^{n - 1}}x$ के लिए,किसी भी बिंदु पर सबनॉर्मल (subnormal) स्थिर है। $n$ का मान क्या होना चाहिए?

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