फलन f(theta) = alpha tan^2 theta + beta cot^2 | vedclass

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Question

(NONE) $f(	heta) = \alpha 	an^2 	heta + \beta \cot^2 	heta$ का न्यूनतम मान $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: $f(	heta) \ge 2\s

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$1023$

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(NONE) $f(	heta) = \alpha 	an^2 	heta + \beta \cot^2 	heta$ का न्यूनतम मान $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: $f(	heta) \ge 2\sqrt{\alpha 	an^2 	heta \cdot \beta \cot^2 	heta} = 2\sqrt{\alpha\beta}$.
चूँकि $\alpha > \beta > 0$, $g(	heta) = \alpha \sin^2 	heta + \beta \cos^2 	heta$ का अधिकतम मान $\alpha$ है।
दिया गया है कि $\min f(	heta) = \max g(	heta)$, इसलिए $2\sqrt{\alpha\beta} = \alpha$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $4\alpha\beta = \alpha^2$, जिसका अर्थ है $\alpha = 4\beta$ (चूँकि $\alpha 
eq 0$)।
प्रथम पद $a = \frac{\alpha}{2\beta} = \frac{4\beta}{2\beta} = 2$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{2\beta}{\alpha} = \frac{2\beta}{4\beta} = \frac{1}{2}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $10$ पदों का योग $S_{10} = a \frac{1-r^{10}}{1-r} = 2 \frac{1-(1/2)^{10}}{1-1/2} = 4(1 - \frac{1}{1024}) = 4 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{256}$ है।
अतः, $m = 1023$ और $n = 256$ है। चूँकि $\gcd(1023, 256) = 1$, इसलिए $m+n = 1023 + 256 = 1279$ है।

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