निम्नलिखित में से किस वक्र के लिए रेखा $x+\sqrt{3} y=2 \sqrt{3}$ बिंदु $\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ पर स्पर्शरेखा है?

रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को कब स्पर्श करती है?

कथन $(A)$: एक दीर्घवृत्त के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $4$ है। इसकी नाभि और इसकी संगत नियता (directrix) क्रमशः $(1, -2)$ और $3x + 4y - 15 = 0$ हैं। तब इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $\frac{1}{2}$ है।
कारण $(R)$: दीर्घवृत्त की नाभि से उसकी संगत नियता पर खींचे गए लंब की लंबाई $\frac{a(1 - e^2)}{e}$ होती है।
तब निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

दीर्घवृत्त $3x^2 + 4y^2 = 12$ की एक स्पर्श रेखा जिसकी प्रवणता $m = -1/2$ है, $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। यदि $O$ मूलबिंदु है, तो $\Delta AOB$ का क्षेत्रफल है ...

$P$ दीर्घवृत्त $9x^2 + 36y^2 = 324$ पर कोई बिंदु है,जिसके नाभियाँ $S$ और $S'$ हैं। तो $SP + S'P$ का मान क्या होगा?

यदि एक दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $5/8$ है और इसकी नाभियों के बीच की दूरी $10$ है,तो इसका नाभिलंब क्या है?