ઉગમબિંદુ પર $x$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ મેળવો.

(N/A) ધારો કે $C$ એ ઉગમબિંદુ પર $x$-અક્ષને સ્પર્શતા વર્તુળોની સંહતિ દર્શાવે છે. ધારો કે $(0, a)$ એ સંહતિના કોઈપણ સભ્યના કેન્દ્રના યામ છે.
તેથી,સંહતિ $C$ નું સમીકરણ
$x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2} \text{ અથવા } x^{2} + y^{2} = 2ay$ ..........$(1)$
જ્યાં $a$ એ સ્વૈર અચળાંક છે. સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુઓનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a \frac{dy}{dx}$
અથવા $x + y \frac{dy}{dx} = a \frac{dy}{dx} \text{ અથવા } a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}}$ ..........$(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે
$x^{2} + y^{2} = 2y \left[ \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{\frac{dy}{dx}} \right]$
અથવા $\frac{dy}{dx}(x^{2} + y^{2}) = 2xy + 2y^{2} \frac{dy}{dx}$
અથવા $\frac{dy}{dx}(x^{2} + y^{2} - 2y^{2}) = 2xy$
અથવા $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$
આ આપેલ વર્તુળોની સંહતિનું જરૂરી વિકલ સમીકરણ છે.