$y$-अक्ष पर नाभियों और मूलबिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

(N/A) $y$-अक्ष पर नाभियों और मूलबिंदु पर केंद्र वाले दीर्घवृत्तों के परिवार का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ --- $(1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{b^{2}}+\frac{2yy'}{a^{2}}=0$
$\Rightarrow \frac{x}{b^{2}}+\frac{yy'}{a^{2}}=0$ --- $(2)$
$x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{b^{2}} = -\frac{yy'}{a^{2}x}$.
समीकरण $(2)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{b^{2}}+\frac{y' \cdot y' + y \cdot y''}{a^{2}} = 0$
$\frac{1}{b^{2}} = -\frac{yy'}{a^{2}x}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$-\frac{yy'}{a^{2}x} + \frac{(y')^{2} + yy''}{a^{2}} = 0$
$a^{2}x$ से गुणा करने पर:
$-yy' + x(y')^{2} + xyy'' = 0$
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण है:
$xyy'' + x(y')^{2} - yy' = 0$