$7$ बल्लेबाजों और $6$ गेंदबाजों के समूह में से,$10$ खिलाड़ियों को एक टीम के लिए चुना जाना है,जिसमें कम से कम $4$ बल्लेबाज और कम से कम $4$ गेंदबाज होने चाहिए। एक बल्लेबाज और एक गेंदबाज,जो क्रमशः टीम के कप्तान और उप-कप्तान हैं,को शामिल किया जाना है। तो इस प्रकार चयन करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

$7$ अलग-अलग रंग की शीटों में से एक समय में एक या अधिक शीट लेकर बनाए जा सकने वाले विभिन्न संकेतों की संख्या क्या है?

यदि ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$ और ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$ है,तो $r$ का मान किसके बराबर है?

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके चार अंकों की ऐसी संख्याएँ बनाई जाती हैं जिनमें सभी अंक भिन्न हों। यदि $p$ इस प्रकार बनी कुल संख्याएँ हैं और $q$ उनमें से $3400$ से बड़ी संख्याएँ हैं,तो $p: q=$

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र उभयनिष्ठ (common) नहीं है। तो उन तरीकों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे $X$ और $Y$ मिलकर $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को पार्टी में आमंत्रित कर सकते हैं,ताकि $X$ और $Y$ प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों:

एक परीक्षा में,$3$ विकल्पों वाले $5$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं,जिनमें से केवल एक सही है। प्रत्येक सही उत्तर के लिए $3$ अंक,प्रत्येक गलत उत्तर के लिए $-2$ अंक और यदि प्रश्न का प्रयास नहीं किया जाता है तो $0$ अंक मिलते हैं। तो,परीक्षा में बैठने वाला छात्र $5$ अंक प्राप्त करे,ऐसी तरीकों की संख्या है: