રેખા $4x - 3y = 6$ પરના બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$ પર બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. જો આ સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right)$ હોય,તો $P$ શું હોઈ શકે?

ધારો કે $\alpha$ એ $8$ નો પૂર્ણાંક ગુણક છે. જો $S$ એ $\alpha$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સમૂહ છે જેથી રેખા $6 x + 8 y + \alpha = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4 x - 6 y + 9 = 0$ ને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે,તો $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $(r>0)$ ની જીવાની લંબાઈ રેખા $y-2x=3$ પર $r$ હોય,તો $r^{2}$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન $(A):$ વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 4$ અને $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 24$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.
કારણ $(R):$ કેન્દ્ર $C_1, C_2$ અને ત્રિજ્યા $r_1, r_2$ વાળા વર્તૂળ માટે જો $|C_1C_2| > r_1 + r_2$ હોય,તો વર્તૂળ $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો ધરાવે.

જો બિંદુ $(1, 2)$ માંથી વર્તુળો $x^2 + y^2 + x + y - 4 = 0$ અને $3x^2 + 3y^2 - x - y + k = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $4 : 3$ હોય,તો $k = \dots$

જો બિંદુ $(4,3)$ થી વર્તુળ પરના અભિલંબનો લંબપાદ $(2,1)$ હોય અને $2x-y-2=0$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોય,તો વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.