$4 \, cm$,$5 \, cm$ અને $6 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતો એક ત્રિકોણ રચો અને ત્યારબાદ તેને સમરૂપ એવો બીજો ત્રિકોણ રચો જેની બાજુઓ પ્રથમ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ કરતાં $\frac{2}{3}$ ગણી હોય. આ રચનાની યથાર્થતા પણ આપો.

(N/A) $1.$ $AB = 4 \, cm$ માપનો રેખાખંડ દોરો. બિંદુ $A$ ને કેન્દ્ર લઈ $5 \, cm$ ત્રિજ્યાનો ચાપ દોરો. તેવી જ રીતે,બિંદુ $B$ ને કેન્દ્ર લઈ $6 \, cm$ ત્રિજ્યાનો ચાપ દોરો. આ ચાપ એકબીજાને બિંદુ $C$ માં છેદશે. હવે,$AC = 5 \, cm$ અને $BC = 6 \, cm$ થશે અને $\triangle ABC$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.
$2.$ રેખા $AB$ સાથે લઘુકોણ બનાવે તેવું કિરણ $AX$ દોરો,જે શિરોબિંદુ $C$ ની વિરુદ્ધ બાજુએ હોય.
$3.$ કિરણ $AX$ પર $3$ બિંદુઓ $A_1, A_2, A_3$ એવા લો કે જેથી $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$ થાય.
$4.$ $BA_3$ ને જોડો અને $A_2$ માંથી $BA_3$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AB$ ને બિંદુ $B'$ માં છેદે.
$5.$ $B'$ માંથી $BC$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AC$ ને $C'$ માં છેદે.
$\triangle AB'C'$ એ માંગેલ ત્રિકોણ છે.
આ રચનાની યથાર્થતા સાબિત કરી શકાય છે કે $\frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC} = \frac{2}{3}$.
રચના મુજબ,$B'C' \parallel BC$ છે.
$\therefore \angle AB'C' = \angle ABC$ (અનુકોણ).
$\triangle AB'C'$ અને $\triangle ABC$ માં,
$\angle AB'C' = \angle ABC$ (ઉપર સાબિત કર્યું),
$\angle B'AC' = \angle BAC$ (સામાન્ય ખૂણો).
$\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત).
$\Rightarrow \frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC}$ .......... $(1)$
$\triangle AA_2B'$ અને $\triangle AA_3B$ માં,
$\angle A_2AB' = \angle A_3AB$ (સામાન્ય ખૂણો),
$\angle AA_2B' = \angle AA_3B$ (અનુકોણ).
$\therefore \triangle AA_2B' \sim \triangle AA_3B$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત).
$\Rightarrow \frac{AB'}{AB} = \frac{AA_2}{AA_3} = \frac{2}{3}$ ......... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે $\frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC} = \frac{2}{3}$.
આ રચનાની યથાર્થતા દર્શાવે છે.