$4 \, cm$,$5 \, cm$ और $6 \, cm$ भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की $\frac{2}{3}$ गुनी हों। इस रचना का औचित्य भी दीजिए।

(N/A) $1.$ एक रेखाखंड $AB = 4 \, cm$ खींचिए। बिंदु $A$ को केंद्र मानकर $5 \, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। इसी प्रकार,बिंदु $B$ को केंद्र मानकर $6 \, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। ये चाप एक-दूसरे को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करेंगे। अब,$AC = 5 \, cm$ और $BC = 6 \, cm$ है और $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$2.$ एक किरण $AX$ खींचिए जो रेखा $AB$ के साथ शीर्ष $C$ की विपरीत दिशा में एक न्यून कोण बनाती हो।
$3.$ किरण $AX$ पर $3$ बिंदु $A_1, A_2, A_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$ हो।
$4.$ $BA_3$ को मिलाइए और $A_2$ से होकर $BA_3$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को बिंदु $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $B'$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$\triangle AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $\frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC} = \frac{2}{3}$।
रचना से,$B'C' \parallel BC$ है।
$\therefore \angle AB'C' = \angle ABC$ (संगत कोण)।
$\triangle AB'C'$ और $\triangle ABC$ में,
$\angle AB'C' = \angle ABC$ (ऊपर सिद्ध किया गया),
$\angle B'AC' = \angle BAC$ (उभयनिष्ठ कोण)।
$\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\Rightarrow \frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC}$ .......... $(1)$
$\triangle AA_2B'$ और $\triangle AA_3B$ में,
$\angle A_2AB' = \angle A_3AB$ (उभयनिष्ठ कोण),
$\angle AA_2B' = \angle AA_3B$ (संगत कोण)।
$\therefore \triangle AA_2B' \sim \triangle AA_3B$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\Rightarrow \frac{AB'}{AB} = \frac{AA_2}{AA_3} = \frac{2}{3}$ ......... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC} = \frac{2}{3}$।
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।