दिया गया है $f(x) = e^{\sin x} + e^{\cos x}$। $f(x)$ का वैश्विक अधिकतम मान

मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है। मान लीजिए $f$ दो बार अवकलनीय है,$f(0)=f(1)=0$ और $x \in[0,1]$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$ को संतुष्ट करता है।
$1.$ $0 < x < 1$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $0 < f(x) < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < f(x) < 0$
$2.$ यदि फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ अंतराल $[0,1]$ में अपना न्यूनतम मान $x=\frac{1}{4}$ पर प्राप्त करता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ के लिए $x \in (0, 1/4)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ के लिए $x \in (0, 1/4)$
$(C)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ के लिए $x \in (1/4, 1)$
$(D)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ के लिए $x \in (1/4, 1)$

यदि दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले एक खुले बेलन का आयतन अधिकतम है,तो उसकी त्रिज्या है

मान लीजिए $f(x)=4 \cos ^3 x+3 \sqrt{3} \cos ^2 x-10$ है। अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $f$ के स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) बिंदुओं की संख्या क्या है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=(x-1)(x-2)(x-5)$ द्वारा दिया गया है। $x>0$ के लिए $F(x)=\int_0^x f(t) dt$ को परिभाषित करें। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $F$ का $x=1$ पर स्थानीय न्यूनतम है
$(2)$ $F$ का $x=2$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(3)$ सभी $x \in (0,5)$ के लिए $F(x) \neq 0$
$(4)$ $F$ के $(0, \infty)$ में दो स्थानीय अधिकतम और एक स्थानीय न्यूनतम है

यदि $f(x) = x^4 + \lambda x^3 + x^2$ $(\lambda \in R)$ का $x = \frac{1}{2}$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) है,तो $f(x)$ का निरपेक्ष निम्निष्ठ (absolute minimum) मान है: