एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया गया है,$P(X)$ को $X$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय मानिए। $P(X)$ में संबंध $R$ को इस प्रकार परिभाषित कीजिए: $P(X)$ में उपसमुच्चयों $A, B$ के लिए,$ARB$ यदि और केवल यदि $A \subset B$ है। क्या $R$ एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

(D) $1$. स्वतुल्यता: चूँकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है,इसलिए सभी $A \in P(X)$ के लिए $A \subset A$ होता है। अतः,सभी $A \in P(X)$ के लिए $ARA$ सत्य है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,$ARB$ से $BRA$ का तात्पर्य होना चाहिए। यहाँ,$ARB$ का अर्थ $A \subset B$ है। इससे यह तात्पर्य नहीं निकलता कि $B \subset A$ है। उदाहरण के लिए,यदि $X = \{1, 2, 3\}$,$A = \{1\}$,और $B = \{1, 2\}$ लें,तो $A \subset B$ ($ARB$ सत्य है),लेकिन $B \not\subset A$ ($BRA$ असत्य है)। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $ARB$ और $BRC$ है,तो $A \subset B$ और $B \subset C$ है। उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार,इससे $A \subset C$ प्राप्त होता है,इसलिए $ARC$ सत्य है। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: चूँकि $R$ सममित नहीं है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है।