આપેલ છે કે કોઈપણ n in N માટે એક એકી પૂર્ણાંક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણને આપેલ છે કે $f(n) = \left(r+1, \frac{q+1}{2}ight)$ જ્યાં $n = q 	imes 2^r$, $q$ એ એકી પૂર્ણાંક છે અને $r \geq 0$.એક-એક વિધેય માટે:ધારો કે

Vedclass · Accepted Answer

$f$ એક બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત) છે

Vedclass · Answer

(C) આપણને આપેલ છે કે $f(n) = \left(r+1, \frac{q+1}{2}ight)$ જ્યાં $n = q 	imes 2^r$, $q$ એ એકી પૂર્ણાંક છે અને $r \geq 0$.એક-એક વિધેય માટે:ધારો કે $f(n_1) = f(n_2)$.તો $\left(r_1+1, \frac{q_1+1}{2}ight) = \left(r_2+1, \frac{q_2+1}{2}ight)$.આનો અર્થ એ થાય કે $r_1+1 = r_2+1 \Rightarrow r_1 = r_2$ અને $\frac{q_1+1}{2} = \frac{q_2+1}{2} \Rightarrow q_1 = q_2$.કારણ કે $n_1 = q_1 	imes 2^{r_1}$ અને $n_2 = q_2 	imes 2^{r_2}$, તેથી $n_1 = n_2$. આમ, $f$ એક-એક છે.વ્યાપ્ત વિધેય માટે:ધારો કે $(a, b) \in N 	imes N$. આપણે એવું $n \in N$ શોધવું છે કે જેથી $f(n) = (a, b)$.$r+1 = a \Rightarrow r = a-1$. કારણ કે $a \in N$, $a \geq 1$, તેથી $r \geq 0$.$\frac{q+1}{2} = b \Rightarrow q = 2b-1$. કારણ કે $b \in N$, $b \geq 1$, તેથી $q \geq 1$ અને $q$ એકી સંખ્યા છે.આમ, કોઈપણ $(a, b) \in N 	imes N$ માટે, $n = (2b-1) 	imes 2^{a-1} \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f(n) = (a, b)$.તેથી, $f$ વ્યાપ્ત છે.કારણ કે $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે, તેથી $f$ એ બાયજેક્શન છે.

Similar Questions

ધારો કે $f: N \to N$ એ $f(x) = x^2 + x + 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $x \in N$. તો $f$ એ:

જો $f: N \times N \rightarrow N$ એ $f(m, n) = 2^{m-1}(2n-1)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,જ્યાં $(m, n) \in N \times N$,તો $f$ એ

ધારો કે $f : R \to R$ એ $f(x) = \frac{ax^2 + ax + b}{ax + b}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો:

$f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f:R \to R$ એ

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module