'$ARRANGEMENT$' शब्द के अक्षरों से कितने विन्यास (arrangements) बनाए जा सकते हैं?

यदि $^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 > ^nC_3$ है,तो $n$ का मान क्या है?

'$MATHEMATICS$' शब्द के चार अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

पाँच अलग-अलग रंगों की गेंदों को तीन अलग-अलग आकारों के बक्सों में रखा जाना है। प्रत्येक बक्सा पाँचों गेंदों को रख सकता है। हम गेंदों को कितनी तरह से रख सकते हैं कि कोई भी बक्सा खाली न रहे?

$35$ सेबों को $3$ लड़कों के बीच इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक को कितने भी सेब मिल सकें।

हमें $8$ व्यक्तियों में से $6$ व्यक्तियों का चयन करना है,लेकिन यदि व्यक्ति $A$ को चुना जाता है,तो व्यक्ति $B$ को भी चुना जाना चाहिए। यह चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है?