$1$ से $100$ तक की प्राकृतिक संख्याएँ लिखते समय अंक $5$ कितनी बार आता है?

$5$ अलग-अलग गेंदों को $3$ व्यक्तियों के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक व्यक्ति को कम से कम एक गेंद मिले?

$3$ बच्चे $15$ क्रमिक रूप से क्रमांकित टिकटों में से $10$ टिकटों को आपस में इस प्रकार वितरित करते हैं कि उन्हें $5, 3$ और $2$ टिकटों के क्रमिक ब्लॉक मिलते हैं,तो ऐसा करने के तरीकों की संख्या है

एक वर्णमाला के $6$ अलग-अलग अक्षर दिए गए हैं। इन दिए गए अक्षरों से $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाए जाते हैं। तो उन शब्दों की संख्या जिनमें कम से कम एक अक्षर दोहराया गया हो और कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों,है:

$1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 16! + 17!$ के योग का दहाई का अंक निम्नलिखित में से किससे विभाज्य है?

एक पुरुष $P$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएं हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Q$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएं हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $P$ और $Q$ का कोई भी मित्र समान नहीं है। तो उन तरीकों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे $P$ और $Q$ मिलकर $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित करके एक पार्टी दे सकते हैं,ताकि $P$ और $Q$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों।