यदि $\alpha$ एक नियमित अष्टकोण का आंतरिक कोण है,तो $\lim_{\theta \to \alpha^+} \frac{\tan \theta - 1}{[\sin \theta + \cos \theta]}$ का मान ज्ञात कीजिए। (नोट: $[k]$ का अर्थ $k$ से कम या उसके बराबर का महत्तम पूर्णांक है)।

यदि $\alpha = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left( \frac{e^{\sqrt{\tan x}} - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{\tan x} - \sqrt{x}} \right)$ और $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + \sin x)^{\frac{1}{2} \cot x}$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx - \sqrt{e} = 0$ के मूल हैं,तो $12 \log_e(a + b)$ का मान ............. है।

मान लीजिए $f(x) = 5 - |x - 2|$ और $g(x) = |x + 1|$,जहाँ $x \in R$ है। यदि $f(x)$ अपना अधिकतम मान $\alpha$ पर प्राप्त करता है और $g(x)$ अपना न्यूनतम मान $\beta$ पर प्राप्त करता है,तो $\lim_{x \to \alpha \beta} \frac{(x - 1)(x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 6x + 8}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{10 + {{\left( {2\cos x} \right)}^{2n}}}} = 0$ है,तो $|\sin x|$ के सभी संभावित मानों का पूर्ण समुच्चय क्या है?

मान लीजिए $[x]$ उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से अधिक नहीं है। यदि $l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (x^2 + [x])$,$l_2 = \lim_{x \rightarrow 3^{-}} (2x - [x])$ और $l_3 = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \left( \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} \right)$ है,तो:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3^{2x}-\sqrt{x+1}) \sin 5x}{1-\cos 4x} =$