यदि R समुच्चय A पर एक तुल्यता संबंध (equivale | vedclass

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Question

(D) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होता है।$1$. स्वतुल्य: सभी $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$. चूंकि $(a, a) \in R$,इस

Vedclass · Accepted Answer

इनमें से कोई नहीं

Vedclass · Answer

(D) समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होता है।$1$. स्वतुल्य: सभी $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$. चूंकि $(a, a) \in R$,इसलिए $(a, a) \in R^{-1}$,अतः $R^{-1}$ स्वतुल्य है।$2$. सममित: यदि $(a, b) \in R$,तो $(b, a) \in R$. $R^{-1}$ के लिए,यदि $(a, b) \in R^{-1}$,तो $(b, a) \in R$. चूंकि $R$ सममित है,$(a, b) \in R$,इसलिए $(b, a) \in R^{-1}$. अतः $R^{-1}$ सममित है।$3$. संक्रामक: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$,तो $(a, c) \in R$. $R^{-1}$ के लिए,यदि $(a, b) \in R^{-1}$ और $(b, c) \in R^{-1}$,तो $(b, a) \in R$ और $(c, b) \in R$. चूंकि $R$ संक्रामक है,$(c, a) \in R$,जो यह दर्शाता है कि $(a, c) \in R^{-1}$. अतः $R^{-1}$ संक्रामक है।चूंकि $R^{-1}$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,यह एक तुल्यता संबंध है। इसलिए,यह कहना गलत है कि $R^{-1}$ इनमें से कुछ नहीं है।

यदि $R$ समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है,तो $R^{-1}$ क्या नहीं है :-

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समुच्चय $A$ पर परिभाषित संबंध $R$ प्रति-सममित (anti-symmetric) है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ का तात्पर्य है:

समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ पर संबंध $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)\}$ परिभाषित है। तो $R$ . . . . . . है।

मान लीजिए कि $R$,$N \times N$ पर परिभाषित एक संबंध है,जहाँ $(a, b) R(c, d) \Leftrightarrow ad = bc$ है। तो $R$ है:

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