જો $S = \{x \in [0, 2\pi] : \begin{vmatrix} 0 & \cos x & -\sin x \\ \sin x & 0 & \cos x \\ \cos x & \sin x & 0 \end{vmatrix} = 0\}$ હોય,તો $\sum_{x \in S} \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ $3$ ક્રમનો નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે. જો $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} A) A))) = 3^{-13} \cdot 2^{-10}$ અને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A)) = 2^m \cdot 3^n$ હોય,તો $|3m + 2n|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ $2$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક છે જેથી $|A|=2$ અને તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $-3$ છે. જો $A^2+xA+yI=0$ નું સમાધાન કરતા બિંદુઓ $(x, y)$ એક અતિવલય પર આવેલા હોય,જેની અનુપ્રસ્થ અક્ષ $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ હોય અને નાભિલંબની લંબાઈ $\ell$ હોય,તો $e^4+\ell^4$ ની કિંમત શોધો.

$\det \left[ \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right] = $

$3 \times 3$ ના કેટલા અ-શૂન્ય (non-singular) શ્રેણિકો મળે જેમાં ચાર ઘટકો $1$ હોય અને બાકીના બધા ઘટકો $0$ હોય?

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે, જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક છે. જો $s_n = \alpha^n + \beta^n$ અને $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+s_1 & 1+s_2 \\ 1+s_1 & 1+s_2 & 1+s_3 \\ 1+s_2 & 1+s_3 & 1+s_4\end{array}\right| = k \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$ હોય, તો $k =$