यदि $x, y, z$ भिन्न हैं और $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3}\end{array}\right|=0,$ तो सिद्ध कीजिए कि $1+x y z=0$.

(A) हमारे पास $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3}\end{array}\right|$ है।
$= \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1 \\ z & z^{2} & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & x^{3} \\ y & y^{2} & y^{3} \\ z & z^{2} & z^{3}\end{array}\right|$
$= (-1)^{2} \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| + x y z \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right| \quad (C_{3} \leftrightarrow C_{2} \text{ और फिर } C_{1} \leftrightarrow C_{2} \text{ का उपयोग करते हुए})$
$= (1+x y z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\right|$
$= (1+x y z) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 0 & y-x & y^{2}-x^{2} \\ 0 & z-x & z^{2}-x^{2}\end{array}\right| \quad (R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1} \text{ और } R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{1} \text{ का उपयोग करते हुए})$
$R_{2}$ से $(y-x)$ और $R_{3}$ से $(z-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = (1+x y z)(y-x)(z-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 1 & z+x\end{array}\right|$
$= (1+x y z)(y-x)(z-x)(z-y)$ ($C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर)
चूंकि $\Delta=0$ और $x, y, z$ सभी भिन्न हैं,अर्थात $x-y \neq 0, y-z \neq 0, z-x \neq 0$,इसलिए हमें $1+x y z=0$ प्राप्त होता है।