यदि $x = \sqrt{a^{\sin^{-1}t}}$ और $y = \sqrt{a^{\cos^{-1}t}}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।

दिए गए समीकरण $x = \sqrt{a^{\sin^{-1}t}}$ और $y = \sqrt{a^{\cos^{-1}t}}$ हैं।
इसे $x = a^{\frac{1}{2}\sin^{-1}t}$ और $y = a^{\frac{1}{2}\cos^{-1}t}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के लिए दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln x = \frac{1}{2}\sin^{-1}t \ln a$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x} \frac{dx}{dt} = \frac{\ln a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \implies \frac{dx}{dt} = \frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$।
इसी प्रकार,$y$ के लिए:
$\ln y = \frac{1}{2}\cos^{-1}t \ln a$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dt} = \frac{\ln a}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right) \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}}{\frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}} = -\frac{y}{x}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ सिद्ध होता है।