यदि $y=\sin ^{-1} x$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=0$.

(N/A) दिया गया है $y=\sin ^{-1} x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right) \cdot \frac{d y}{d x} + \sqrt{1-x^{2}} \cdot \frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right) = 0$
$\left(\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}} \cdot (-2x)\right) \frac{d y}{d x} + \sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:
$-x \frac{d y}{d x} + (1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = 0$.