यदि $a, b, c, d$ और $p$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(ab+bc+cd) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$,तो सिद्ध कीजिए कि $a, b, c$ और $d$ $G.P.$ में हैं।

दिया गया है कि $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(ab+bc+cd) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$ $(1)$
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a^{2}p^{2}-2abp+b^{2})+(b^{2}p^{2}-2bcp+c^{2})+(c^{2}p^{2}-2cdp+d^{2}) \leq 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(ap-b)^{2}+(bp-c)^{2}+(cp-d)^{2} \leq 0$ $(2)$
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग के $\leq 0$ होने का एकमात्र तरीका यह है कि प्रत्येक पद $0$ के बराबर हो:
$(ap-b)^{2} = 0, (bp-c)^{2} = 0, (cp-d)^{2} = 0$
इसका तात्पर्य है $ap=b, bp=c, cp=d$.
अतः,$\frac{b}{a} = p, \frac{c}{b} = p, \frac{d}{c} = p$.
चूंकि सार्व अनुपात स्थिर है,इसलिए $a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।