यदि x, y, z शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो | vedclass

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Question

(A) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \ 0 & y & 0 \ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ है।$A$ का सारणिक $|A| = x(yz - 0) - 0 + 0 = xyz$ है

Vedclass · Accepted Answer

$\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \ 0 & y^{-1} & 0 \ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \ 0 & y & 0 \ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ है।$A$ का सारणिक $|A| = x(yz - 0) - 0 + 0 = xyz$ है।चूंकि $x, y, z 
eq 0$,इसलिए $|A| = xyz 
eq 0$,अतः $A^{-1}$ का अस्तित्व है।एक विकर्ण आव्यूह $A = 	ext{diag}(x, y, z)$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = 	ext{diag}(x^{-1}, y^{-1}, z^{-1})$ द्वारा दिया जाता है।सहखंडज (adjugate) आव्यूह की गणना करने पर:$adj(A) = \begin{bmatrix} yz & 0 & 0 \ 0 & xz & 0 \ 0 & 0 & xy \end{bmatrix}$।अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{xyz} \begin{bmatrix} yz & 0 & 0 \ 0 & xz & 0 \ 0 & 0 & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{yz}{xyz} & 0 & 0 \ 0 & \frac{xz}{xyz} & 0 \ 0 & 0 & \frac{xy}{xyz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{x} & 0 & 0 \ 0 & \frac{1}{y} & 0 \ 0 & 0 & \frac{1}{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \ 0 & y^{-1} & 0 \ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$।

यदि $x, y, z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो आव्यूह $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम (inverse) क्या है?

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