જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો હોય કે જેથી $AB = BA$ થાય,તો ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે $AB^{n} = B^{n}A$. વધુમાં,સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે $(AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ થાય.

(N/A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે જેથી $AB = BA$.
ભાગ $1$: ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા સાબિત કરવું કે $P(n): AB^{n} = B^{n}A$ તમામ $n \in N$ માટે.
$n = 1$ માટે,$AB^{1} = B^{1}A$,જે સત્ય છે કારણ કે $AB = BA$ આપેલ છે.
ધારો કે પરિણામ $n = k$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $AB^{k} = B^{k}A$ $(1)$.
$n = k + 1$ માટે,$AB^{k+1} = (AB^{k})B = (B^{k}A)B = B^{k}(AB) = B^{k}(BA) = (B^{k}B)A = B^{k+1}A$.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$AB^{n} = B^{n}A$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.
ભાગ $2$: ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા સાબિત કરવું કે $Q(n): (AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ તમામ $n \in N$ માટે.
$n = 1$ માટે,$(AB)^{1} = A^{1}B^{1} = AB$,જે સત્ય છે.
ધારો કે પરિણામ $n = k$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $(AB)^{k} = A^{k}B^{k}$ $(2)$.
$n = k + 1$ માટે,$(AB)^{k+1} = (AB)^{k}(AB) = (A^{k}B^{k})(AB) = A^{k}(B^{k}A)B$.
ભાગ $1$ ના પરિણામનો ઉપયોગ કરતા,$B^{k}A = AB^{k}$,તેથી $(AB)^{k+1} = A^{k}(AB^{k})B = (A^{k}A)(B^{k}B) = A^{k+1}B^{k+1}$.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$(AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.