यदि $l_{1}, m_{1}, n_{1}; l_{2}, m_{2}, n_{2}; l_{3}, m_{3}, n_{3}$ तीन परस्पर लंबवत रेखाओं की दिक्-कोसाइन (direction cosines) हैं,तो सिद्ध कीजिए कि जिस रेखा की दिक्-कोसाइन $l_{1}+l_{2}+l_{3}, m_{1}+m_{2}+m_{3}, n_{1}+n_{2}+n_{3}$ के समानुपाती हैं,वह उनके साथ समान कोण बनाती है।

(N/A) मान लीजिए $\vec{a} = l_{1}\hat{i} + m_{1}\hat{j} + n_{1}\hat{k}$,$\vec{b} = l_{2}\hat{i} + m_{2}\hat{j} + n_{2}\hat{k}$,और $\vec{c} = l_{3}\hat{i} + m_{3}\hat{j} + n_{3}\hat{k}$ तीन परस्पर लंबवत रेखाओं की दिशा में इकाई सदिश हैं।
मान लीजिए $\vec{d} = (l_{1}+l_{2}+l_{3})\hat{i} + (m_{1}+m_{2}+m_{3})\hat{j} + (n_{1}+n_{2}+n_{3})\hat{k} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $\vec{d}$ और $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के बीच के कोण हैं।
तब $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{a}| |\vec{d}|} = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{d}|}$.
चूंकि रेखाएं परस्पर लंबवत हैं,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,और $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{|\vec{d}|}$.
इसी प्रकार,$\cos \beta = \frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{1}{|\vec{d}|}$ और $\cos \gamma = \frac{\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{1}{|\vec{d}|}$.
चूंकि $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$. अतः,यह रेखा तीन परस्पर लंबवत रेखाओं के साथ समान कोण बनाती है।