यदि अंकों $0, 1, 3, 5,$ और $7$ का उपयोग करके $5,000$ से बड़ी $4$-अंकीय संख्याएँ यादृच्छिक रूप से बनाई जाती हैं,तो अंकों की पुनरावृत्ति न होने पर $5$ से विभाज्य संख्या बनने की प्रायिकता क्या है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(i)$ समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एकैकी फलनों (one-one functions) की संख्या,जहाँ $O(A) = m$ और $O(B) = n$ $(m \leq n)$ है,${}^n P_m$ द्वारा दी जाती है।
(ii) $n$ लोगों को एक वृत्ताकार मेज पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ है।
(iii) दी गई $n$ भिन्न वस्तुओं में से कम से कम एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या $2^n - 1$ है।
(iv) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को $k$ अलग-अलग डिब्बों में वितरित करने के तरीकों की संख्या ${}^n C_{k-1}$ है।
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$5$ लड़कों और $6$ लड़कियों को सभी संभावित तरीकों से व्यवस्थित किया गया है। मान लीजिए $X$ उन रैखिक व्यवस्थाओं की संख्या को दर्शाता है जिनमें कोई भी दो लड़के एक साथ नहीं बैठते हैं और $Y$ उन रैखिक व्यवस्थाओं की संख्या को दर्शाता है जिनमें कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ नहीं बैठती हैं। यदि $Z$ उन सभी को एक गोल मेज के चारों ओर इस तरह से व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,तो $X: Y: Z=$

$^{80}C_{40}$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य नहीं है?

$1, 2, 3, \ldots, n$ संख्याओं को यादृच्छिक क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि अंक $1, 2, 3, \ldots, k$ एक ब्लॉक के रूप में उसी क्रम में दिखाई दें?

मान लीजिए $m$ और $n$ $(m < n)$ दो $2$-अंकीय संख्याएँ हैं। तो ऐसे युग्मों $(m, n)$ की कुल संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $\operatorname{gcd}(m, n) = 6$ हो।