જો અંકો $0, 1, 3, 5,$ અને $7$ નો ઉપયોગ કરીને $5,000$ થી મોટી $4$-અંકી સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે બનાવવામાં આવે,તો અંકોનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય ત્યારે $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા બનવાની સંભાવના કેટલી છે?

કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ એવી છે કે જેના માટે $n! + 10$ એક પૂર્ણ વર્ગ હોય?

એક હાઈસ્કૂલમાં,$6$ છોકરાઓ $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ અને $5$ છોકરીઓ $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ ના જૂથમાંથી એક સમિતિ બનાવવાની છે.
$(i)$ ધારો કે $\alpha_1$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $5$ સભ્યો હોય,જેમાં બરાબર $3$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ હોય.
$(ii)$ ધારો કે $\alpha_2$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં ઓછામાં ઓછા $2$ સભ્યો હોય,અને છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા સમાન હોય.
$(iii)$ ધારો કે $\alpha_3$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $5$ સભ્યો હોય,જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ હોય.
$(iv)$ ધારો કે $\alpha_4$ એ કુલ રીતો છે જેમાં સમિતિ બનાવી શકાય છે જેથી સમિતિમાં $4$ સભ્યો હોય,જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ હોય અને $M_1$ અને $G_1$ બંને એકસાથે સમિતિમાં ન હોય.

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. $\alpha_1$ નું મૂલ્ય	$1. 136$
$Q$. $\alpha_2$ નું મૂલ્ય	$2. 189$
$R$. $\alpha_3$ નું મૂલ્ય	$3. 192$
$S$. $\alpha_4$ નું મૂલ્ય	$4. 200$
	$5. 381$
	$6. 461$

સાચો વિકલ્પ છે:

$2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનાવી શકાય તેવી તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $n \geq 3$ એક પૂર્ણાંક છે. $(1, 2, \ldots, n)$ ના ક્રમચય $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ માટે,આપણે $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ધારો કે $S_\sigma$ એ $f_\sigma(x) = 0$ ના બીજનો સરવાળો છે અને $S$ એ $(1, 2, \ldots, n)$ ના તમામ ક્રમચયો $\sigma$ પર $S_\sigma$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો,

એક ટ્રેન રૂટ પર $15$ સ્ટેશન છે અને ટ્રેનને આ $15$ સ્ટેશનમાંથી બરાબર $5$ સ્ટેશન પર રોકવાની છે. જો તે ઓછામાં ઓછા બે ક્રમિક સ્ટેશન પર રોકાય,તો ટ્રેન કેટલી રીતે રોકી શકાય?