यदि $a$ और $b$,$x^{2}-3x+p=0$ के मूल हैं और $c$ और $d$,$x^{2}-12x+q=0$ के मूल हैं,जहाँ $a, b, c, d$ एक $G.P.$ बनाते हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $(q+p):(q-p)=17:15$ है।

दिया गया है कि $a$ और $b$,$x^{2}-3x+p=0$ के मूल हैं,इसलिए $a+b=3$ और $ab=p$ $(1)$.
दिया गया है कि $c$ और $d$,$x^{2}-12x+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $c+d=12$ और $cd=q$ $(2)$.
चूंकि $a, b, c, d$ एक $G.P.$ में हैं,मान लीजिए $a=x, b=xr, c=xr^{2}, d=xr^{3}$.
$(1)$ से,$x+xr=3 \Rightarrow x(1+r)=3$.
$(2)$ से,$xr^{2}+xr^{3}=12 \Rightarrow xr^{2}(1+r)=12$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{xr^{2}(1+r)}{x(1+r)} = \frac{12}{3}$ $\Rightarrow r^{2}=4$ $\Rightarrow r=\pm 2$.
स्थिति $I$: यदि $r=2$,तो $x(1+2)=3 \Rightarrow x=1$. अतः $a=1, b=2, c=4, d=8$. तो $p=ab=2$ और $q=cd=32$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{32+2}{32-2} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
स्थिति $II$: यदि $r=-2$,तो $x(1-2)=3 \Rightarrow x=-3$. अतः $a=-3, b=6, c=-12, d=24$. तो $p=ab=-18$ और $q=cd=-288$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{-288-18}{-288+18} = \frac{-306}{-270} = \frac{17}{15}$.
इस प्रकार,दोनों स्थितियों में $(q+p):(q-p)=17:15$ प्राप्त होता है।